There it is: dwarves are not heroes, but calculating folk with a great idea of the value of money... (JRR Tolkien, The Hobbit)
L'idée m'est venue que mon commerçant âpre au gain allait devoir tenir une comptabilité sérieuse s'il voulait être sûr de pas se faire arnaquer par ces cupides hobbits sans scrupules qui écument les bas quartiers de Lézeau. Et du coup, j'ai du réfléchir un peu...
1) Comment noter les numéraux ?Les très connues pages du Livre de Mazarbul nous indiquent comment noter quelques chiffres en runes (cirth) : le 1, le 3, le 4, le 5 et le 6. Il est possible de reconstruire facilement le 2 en interpolant les notations du 1 et du 3.
Plusieurs remarques importantes :- il n'y pas de logique certaine derrière la construction de ces chiffres : pas de suite croissante des segments ou des angles (de 1 à 4 ça ressemble à une énumération des segments mais le 5 ne comporte que 4 segments)- si de 1 à 5 les cirth sont identiques ou proches des cirth des lettres, pour le 6 on a une écriture distinctive qui consiste à faire 6 encoches IIIIII- il y a une incertitude sur la valeur du 6 car l'hypothèse faite qu'il s'agit de la "numérotation de la page" en haut à gauche n'est pas prouvée- en tout état de cause on ne sait pas numéroter au-delà de 6 (sauf à enchaîner les IIIIIIII mais ça devient peu lisible...)
Voilà tout ce qu'on peut dire sur l'écriture des chiffres en runes, à ma connaissance. En revanche, dans les Quettar 13 et 14 qui s'intéressent notamment aux systèmes numériques elfiques, Christopher Tolkien précise que les Nains utilisent un système duodécimal (base 12) tandis que les Hommes utilisent un système décimal, et que les Elfes utilisent les deux systèmes (j'ai lu des choses différentes sur l'usage de l'un ou de l'autre et de toute façon ça les regarde). D'après Elendil, "il semblerait qu’ils [les Nains] aient parfois utilisé les tengwar", et de fait Ch. Tolkien met sur le même plan l'usage duodécimal des Elfes et des Nains ce qui semble indiquer une forte influence de l'un sur l'autre.
Dans tous les cas, les Quettar semblent bien indiquer un système positionnel dans tous les cas de figure (c'est à dire que la position des chiffres au sein du nombre indique leur valeur de multiple, comme dans notre système arabe, et contrairement aux chiffres romains par exemple). Il semble également établi que bien que l'écriture se fasse de gauche à droite, les nombres s'écrivent de droite à gauche pour les Nains également : l'unité en première position, la douzaine en deuxième position, la grosse en troisième position, etc.
Si le Gondor, dans sa notation décimale, s'est éloigné des standards des tengwar elfiques (cf. la Lettre du Roi et l'analyse de Per Lindberg traduite par Elendil), on peut faire l'hypothèse faute d'autres éléments que le système de notation duodécimal des Nains lui est resté plus fidèle. On peut remarquer, pour étayer cette hypothèse, que l'usage des tengwar qui est fait dans le Livre de Mazarbul est orthodoxe et ne va pas donc dans le sens d'un "nanisation" des emprunts à l'elfique.
Concrètement et pour résumer, on aurait donc un usage des cirth pour les chiffres usuels, dans un écrit ordinaire, et un usage des numéraux fëanoriens duodécimaux dans un contexte de comptabilité ou tout simplement de calculs, avec écriture positionnelle de droite à gauche.
Les règles d'écriture des numéraux fëanoriens se trouvent aisément sur le net.
2) Comment faire les calculs ?Nos amis grecs et romains ont utilisé l'abaque, qui s'est probablement maintenu pendant tout la période médiévale avec différentes vicissitudes (abaque de Gerbert d'Aurillac au 11ème siècle, jeton de Blanche de Castille au 13ème siècle...). On n'a pas connaissance de système concurrent et la notation en chiffres romains sur cette période ne se prêtait guère à des calculs "algoristes". Ensuite, avec l'introduction des chiffres indo-arabes, les abaques sont un peu moins utilisés mais elles ne disparaissent vraiment qu'avec la fin de l'Ancien Régime, témoignant d'une longue résistance.
Côté Terre du Milieu, puisqu'on a établi l'usage d'un système positionnel, la nécessité du recours à l'abaque est moins évidente. Pour autant, plusieurs arguments militent en sa faveur chez les Nains. Primo, le simple fait de "compter les cailloux" (calculi) colle évidemment bien à l'image "minérale" des Nains. Secondo, même si la présence de papier peut être assurée chez les Nains (cf. les brûlures infligées au Livre de Mazarbul qui ne pourraient pas avoir été subies par des pages en parchemin), il n'est pas évident qu'il soit très répandu : l'utilisation pour le Livre de Mazarbul est tout sauf un usage commun, et encore une fois par rapport à "l'image" des Nains cela ne colle pas particulièrement bien. Reste la possibilité de faire les calculs algoristes sur des tablettes de cire bien entendu, qui serviront de toute façon à noter les résultats des calculs. En tout cas la longue résistance de l'abaque s'explique avant tout par le fait que le "calcul à la plume sans biffage" (i.e. sans longues et coûteuses étapes intermédiaires, et l'invention de la retenue) n’apparaît que très tardivement. (Tertio, un abaque c'est un super objet à utiliser et à montrer en camp.)
[À noter qu'un autre avantage de l'abaque c'est de se prêter facilement aux systèmes non cohérents, par exemple une livre qui se divise en 20 sous valant chacun douze deniers, donc un mélange de duodécimal et de vicésimal. Je n'ai pas regardé à ce stade ce qu'on sait des monnaies de Terre du Milieu, qui donnerait pourtant un éclairage intéressant, calculs et finance n'étant jamais bien éloignés... surtout chez les Nains ! Cette recherche sera de toute façon nécessaire pour l'établissement d'une abaque en monnaie de compte.]
À noter que la recherche de mots clés (abacus, counting frame, token, etc.) dans le corpus tolkiennien n'a rien donné de probant. Une recherche sur les calculs en eux-mêmes s'est également révélée stérile.
3) Un abaque ça a quelle tête ?
La question est compliquée, il y a eu toutes sortes de formes.
Côté romain, on a retrouvé 3 abaques portatifs en bronze, en plus des représentations des grands abaques de bois de la taille d'une table (et des abaques de marbres des sanctuaires grecs !). On peut supposer que des abaques portatifs en bois ont également existé.
L'abaque de Gerbert d'Aurillac est intéressant car il l'a conçu au contact des chiffres indo-arabes en Espagne, donc le système (simplifié par rapport à l'abaque romain) présente quelque part l'influence d'un système numéral avec positionnement. Mais comme ça n'a pas été un succès, ce n'est pas très représentatif du calcul médiéval occidental tel qu'il a pu exister et dont la connaissance a du influencer Tolkien.
À la Renaissance, l'abaque à lignes fait effectuer un quart de tour à l'abaque romain : on n'aligne plus les jetons en colonnes mais en lignes. Avantage : on peut faire des séparations entre les nombres plus facilement. Ce qui est utile pour poser les opérations complexes. On parle aussi d'abaques à bandes pour les comptes : c'est simplement un abaque à lignes divisé en bandes de monnaies. Guère plus complexe intellectuellement, mais on s'y embrouille vite. Notons enfin l'arbre de numération qui est "un abaque imaginaire", où des "jetons menteurs" figurent les lignes non tracées sur la nappe blanche. Je ne m'y risquerai pas.
4) Comment ça marche ?
Concrètement un abaque ça ressemble à un boulier (mais conceptuellement c'est plus simple à réaliser). Chaque colonne correspond à une valeur. Un jeton dans cette colonne, c'est une fois cette valeur ; deux jetons, deux fois cette valeur. Pour éviter d'avoir trop de jetons, difficiles à compter, sur une même colonne, il existe depuis les Grecs la "position quinaire" : il s'agit de colonnes intermédiaires où un jeton a la valeur de 5 jetons. Cela permet donc d'écrire 6 avec 2 jetons seulement, et de lire le résultat d'un coup d'oeil. Ce n'est pas nécessaire mas c'est très pratique. [Nota : dans un système essentiellement duodécimal on aura plutôt une position senaire.]
Ensuite on peut poser les opérations : les additions (c'est simple : on pose, on glisse, on réduit), les soustractions (c'est assez simples : on pose, on amplifie, on prélève, on réduit), les multiplications (c'est compliqué : on pose, on décompose, on duplique, on fait des prises de moitié.... mais au final, c'est plein de petites étapes qui se font assez automatiquement) et les divisions (avec des diviseurs pas trop élevés, inférieurs à 1000 : c'est compliqué mais assez proche des divisions telles qu'on les pratique aujourd'hui, avec un fort recours à l'amplification). Globalement faut être attentif mais c'est assez magique. Mais ça demande de la pratique.
À noter que les techniques calculatoires sont décrites dans des manuscrits du 15ème siècle, pas avant, mais 1) elles sont relativement simples/pratiques, inchangées dans les siècles qui suivent, et il est donc probable qu'elles n'aient que peu évolué par rapport à des époques de référence plus anciennes ; 2) au-delà des grands principes, de multiples variations existent entre les auteurs, pour gagner du temps, raccourcir des étapes, ou au contraire limiter les chances de se tromper... Il n'y a donc pas une théorie établie et figée mais bien des pratiques vivantes reposant sur des astuces générales. Je pense donc raisonnable de reprendre les techniques de l'abaque qui nous sont connues.
Remarque importante : les principes de l'abaque sont comme je l'ai dit des trucs et astuces avant tout. Les seules opérations qu'on doit savoir faire de tête c'est des opérations sur des chiffres entre 1 et 5, le reste est automatique si on a assez de rigueur. Il n'y a absolument pas besoin de comprendre *pourquoi* on applique tel truc pour faire une multiplication par 50 : il suffit de le faire. Quand on utilise l'abaque, il faut savoir oublier les mathématiques algébriques telles que nos esprits modernes les connaissent.
5) Du coup, quel objet pour mon kit ?
La magie de l'abaque c'est qu'elle ne repose que sur l'usage de cailloux : on peut ainsi utiliser l'arbre de numération qui n'est rien d'autre qu'un abaque imaginaire.
Cela dit, c'est plus pratique (et plus visuel) avec un abaque concret. Je compte donc réaliser une version portable : un morceau de tissu léger et pouvant être roulé, sur lequel seront peintes les lignes, les symboles des numéraux de référence, et pourquoi pas quelques éléments de déco. J'envisage également une version portable en bois, qui ne serait évidemment pas emportée sur les chemins, mais sur laquelle graver de petites choses. À voir.
Le plus important ce sont les jetons. De simples cailloux font l'affaire en voyage, mais pour avoir un bel objet à présenter, j'aurais aimé quelque chose de plus chiadé. Des billes en pâte de verre aplaties ? Des petits jetons de métal, avec la rune de Mjodvitnir gravée dessus ? Des jetons de bois gravés ?
La réflexion doit encore avancer. :-)
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